Analisando o Gráfico da Função Seno

A função seno  f(  ) = sen(  )  representa uma correspondência que associa um valor no domínio com um único valor na imagem.  Cada valor da variável independente  produz apenas um valor da variável dependente  f(  ).

Considere o gráfico e a tabela de valores correspondentes ao conjunto de pares ordenados associados com a função seno no intervalo [- 2, 2].

Obs.: O software que faz o gráfico entende a função sin() e não sen().

Quantas vezes no intervalo [- 2, 2] a função seno é igual a 0? Resp.: 5

Qual é o valor máximo M atingido pela função seno? Resp.: 1

Quantas vezes no intervalo [- 2, 2] o valor máximo é atingido? Resp.: 2

Qual é valor mínimo m atingido pela função seno? Resp.: -1

Quantas vezes no intervalo [- 2, 2] o valor mínimo é atingido? Resp.: 2

Quantas vezes o gráfico da função seno repete este modelo no intervalo[- 2, 2]? Resp.: 2

Preveja em qual intervalo de os valores da função seno repete eles mesmos.
Resp.: 2.

Funções que repetem seus valores em intervalos regulares são descritas como periódicas. Uma função f é periódica se nela existe uma constante positiva k tal que f() = f( + k) para todo número  no domínio de f.  A menor constante positiva k é chamada de período da função.  Qualquer parte do gráfico de uma função periódica que corresponde a um período é chamada um ciclo do gráfico.

A função seno é periódica com período de 2.  Para todo  no domínio, sen( ) = sen ( + 2).  Esta propriedade pode ser ilustrada graficamente considerando o efeito de vários valores diferentes de k no gráfico da função seno.

Compare os gráficos de y = sen( ) , y ₁ = sen (+ 2)  e  y ₂ = sen ( + 4).
    -  Eles são idênticos

A amplitude do gráfico de y = sen( ) é dada pela , onde M é o valor máximo atingido pela curva, m é o valor mínimo atingido pela curva.

Qual é a amplitude de y = sen( ) ? Resp.: 1

Considere os gráficos de um trio de funções seno no intervalo [0, 2].
 

Determine a amplitude de cada uma das funções seno olhando o gráfico.

    -   y ₃ :  2;   y ₄:  1/2  e  y ₅ :  3

Determine no gráfico o valor máximo e mínimo de cada uma das funções seno.
    - M ₃ =  2;  m ₃ =  - 2
    - M ₄ =  0,5;  m ₄ =  -0,5
    - M ₅ =  3;  m ₅ = - 3

É possível determinar a  amplitude de qualquer função seno, como por exemplo vamos calcular a amplitude de y ₅ = -3sen () usando a fórmula . Veja abaixo: 

Compare com resultado com a amplitude determinada graficamente.
    - Elas sao idênticas.

Encontre agora os valores da amplitude para  y ₃  e  y ₄  ( basta substituir os valores de M e m acima), depois compare com os valores encontrado graficamente.

Recorde que o gráfico de  y = a _* f(x) é esticado verticalmente por um fator de a quando  > 1 e é reduzido verticalmente por um fator de a quando 0 <  < 1.  Tais ampliações e reduções verticais são relatadas pela amplitude da função seno. A amplitude de y = a.sen( ) é .
 

Crie uma função seno a qual tenha sido esticada verticalmente por um fator de 4.

Várias respostas são possíveis tais como y = 4sen( ) ou y = -4sen( ).

Crie duas funções seno que tem uma amplitude de 1.5.
    - y = 1,5sen( );
    - y = -1,5sen( )

(Várias respostas corretas são possíveis.)

Examine os gráficos do dueto das funções seno no intervalo [0, 2].

Quantos ciclos estão completos em um intervalo de extensão 2 para  y ₆  e  y ₇ ?
    -  y ₆   um ciclo
    -  y ₇ - dois ciclos

Compare o número de ciclos completos com o coeficiente de theta.
    - O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de theta.

Qual é a extensão de um ciclo (período) de y ₆  e  y ₇ ?
    Resp.:  y ₆   -  2
               y _{7    -} 
 

Examine o gráfico de outro dueto da função seno no intervalo [0, 2].

Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão  2 para  y ₈  e  y ₉ ?
    - y ₈  :  1/2
    - y ₉  :  3

Compare o número de ciclos completos com o coeficiente de .
    - Eles são os mesmos.

Qual é a extensão de um ciclo (período) de  y ₈  e  y ₉ ?

    Resp.: y ₈   :    4
              y ₉   :   2/ 3

Um ciclo de  y = sen( b), b > 0, é completo como b varia de 0 a 2.  Se , estão
.  A extensão do intervalo, , é o período de y = sen( b).

O período da função definida abaixo pode ser determinada e confirmada algebricamente.
 

Qual é o período de y ₁₀?
    -  3 pi

Considere os gráficos da função y ₁₁ e  y ₁₂  no intervalo [- 2, 2].

Determine a amplitude e o período de y ₁₁ e  y ₁₂.
    - a₁₁ :  3/2;    b₁₁ :  2
    - a₁₂ :  1;       b₁₂ :  2

Explique onde o gráfico de y = sin ( - 2x) tem o mesmo período do gráfico de y = sin (2x).
    - Como  o período é , os períodos serão iguais.

A função y = a.sen( b) tem uma amplitude de 5 e um período de 4.  Quais são os possíveis valores de a? e de b?

    - a:  5 ou  - 5
    - b:  ou - 
 

Analisando o Gráfico da Função Cosseno

Examine o gráfico e a tabela de valores correspondentes do conjunto de pares ordenados associados com a função coseno no intervalo [- 2, 2].

Quantas vezes no intervalo [- 2, 2] a função cosseno é igual a 0? Resp.: 4

Qual é o valor máximo M atingido pela função cosseno? Resp.: 1

Qual é o valor mínimo m atingido pela função cosseno? Resp.: -1

Baseado no gráfico, qual é a amplitude de y = cos()? Resp.: 1

Baseado no gráfico, qual é o período de  y = cos()? Resp.: 2
 

Considere os gráficos das duas funções no intervalo [ 0 , 2].

Descreva como as curvas   y ₁₄  e  y _{1 5} se relacionam.
    - y _{1 5} está atrasada  em relação  a y ₁₄.

Explique se os gráficos de y = sen() e y = cos (+ ) são idênticos.

Estes dois gráficos são reflexões um do outro, em relação ao eixo-x.

A amplitude da função cosseno no gráfico é a mesma da função seno.
    - O período da função coseno no gráfico é o mesmo da função seno e é dado pelo intervalo, .

Considere os gráficos das funções y₁₆ e y₁₇  no intervalo[ 0 , 4].

Determine a amplitude e o período de y₁₆ e y₁₇  [0 , 4]._16 e y_17.
    - a₁₆  :  2;  b₁₆ :  2
    - a₁₇  :  1;  b₁₇ :  4

Explique onde o gráfico de y = cos ( - 3x) tem o mesmo período do que o gráfico de y = cos (3x).
    - Desde que o período seja  , os período irão ser iguais.

Crie uma equação de uma função cosseno com amplitude = 4 e período = 4 ?.

    - Várias respostas corretas irão existir. y₁₈ = 4cos() 
 
 

Aprofundando seus Conhecimentos
 

Explique porque o gráfico de y₁₉  parece com um M.

    - O valor absoluto  provoca a curva refletida acima do eixo-x.

Explique como as amplitudes e os períodos de y₂₀  e y₂₁ se relacionam.

Ambas as amplitudes são 1, e os períodos são cada um igual à 2.

Explique onde os gráficos de  y₂₂  e y₂₃ são os mesmos.

As curvas são idênticas no intervalo [ - , ] mas não são idênticas antes e depois deste intervalo.
 

Examine o gráfico de y₂₄

Quais conclusões podem ser tiradas sobre o valor de y₂₄  quando x se aproxima de 0?
    - y₂₄  aproxima 1 com x aproxima 0.

Explique onde o gráfico de  y₂₄  tem uma assíntota vertical em x = 0.
    - Não existe assíntota vertical em x = 0.

Que conclusões podem ser tiradas sobre o valor de y₂₅ quando x tende a 0?
    - Quando  e quando 

Explique se o gráfico de y₂₅ tem uma assíntota vertical em x = 0.
    - Uma assíntota vertical existe em x = 0